Egyéni verseny

2007. Szeptember 22.

1. Feladat

Legyenek olyan pozitív valós számok, amelyekre . Bizonyítsuk be, hogy .

2. Feladat

Labdák egy n elemű halmazában a labdák az számokkal vannak megjelölve és van ilyenből halmazunk. Ki akarjuk színezni a labdákat két színnel - feketével és fehérrel - úgy, hogy
a) az azonos számmal jelölt labdák színe megegyezzen
b) a labdák bármely részhalmazára, melyek az zámok vannak írva (nem szükségszerűen különböző sorszámok) és teljesül rájuk az feltétel, azok minden színből legalább tartalmaznak 1 labdát.
Adjuk meg güggvényében a lehető legnagyobb számot, melyre létezik ilyen színezés.

3. Feladat

Legyen egy kör a síkon és négy kisebb kör, melyek középpontjaik a körön vannak. A és körök ( és ) metszéspontjai legyenek és , ahol metszéspont van a körön. A körön az pontok ebben a sorrendben helyezkednek el és páronként különbözőek. Bizonyítsuk be, hogy pontok téglalapot határoznak meg.

4. Feladat

Határozzuk meg az összes pozitív egész számpárt, melyek kielégítik a következő egyenletet:

Csapatverseny

2007. Szeptember 22.

1. Feladat

Legyenek olyan valós számok, melyekre igaz, hogy és . Határozzuk meg a következő kifejezés maximális értékét:

2. Feladat

Legyen olyan 5 pont a síkon, melyek közül semelyik 3 nem esik egy egyenesbe. Jelöljük -vel azon hegyesszögű háromszögek számát, melyeknek a csúcsai -ből valók. Határozzuk meg maximális értékét!

3. Feladat

Egy tetraédert MEMO-tetraédernek hívunk, ha mind a hat élének hossza olyan pozitív egész szám, melyek között szerepel a 2 és a 3. Jelöljük -vel a tetraéder éleinek hosszát.
a.) Határozzuk meg az összes pozitív egész számot, melyre létezik MEMO-tetraéder úgy, hogy teljesül.
b.) Hány darab páronként különböző MEMO-tetraéder létezik, melyekre igaz, hogy ? Két tetraédert akkor tekintünk különbözőnek, ha nem lehetséges az egyiket a másikba áttranszformálni síkbeli tükrözéssel, forgatással és mozgatással. (Nem szükséges azt bizonyítani, hogy a tetraéder nem elfajuló, azaz a térfogata pozitív.)

4. Feladat

Keressük meg az összes olyan egész számot, melyre létezik olyan egész szám, hogy  az 2007 többszöröse.

Szeretnénk a MEMO feladatok minél több megoldását összegyűjteni. Ezért kerjük mindazokat, akik ebben segíteni akarnak nekünk, hogy megoldásukat küldjék el bármilyen olvasható formátumban egyenletszerkesztő segítségével elkészítve a következő címre: Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. , a levél tárgya legyen "MEMO feladat megoldása". Mottó: "megoldásért megoldást".